1. NÚMERO SECRETO
Pida a un amigo que escriba un número de dos cifras en secreto, que lo multiplique por 10 y del resultado reste un múltiplo de 9 inferior o igual a 81. Pídale el resultado. Si es de tres cifras, tome las dos primeras y sume la última; si son dos, súmelas entre sí, el resultado que dé es el número secreto.
2. ECUACIONES DIOFANTICAS
Uno de los matemáticos que más fama dio a Alejandría fue Diofanto, quien vivió en la época de Pappo (siglo IV). Diofanto se consagró al álgebra, y ha legado a la posteridad el término “ecuaciones diofánticas”, que se refieren a las de soluciones enteras. Un epigrama griego nos narra de forma concisa su vida: Fue muchacho 1/6 de su vida, su barba creció luego 1/12 más, se casó 1/7 después, tuvo un hijo cinco años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió cuatro años después de su hijo.
3. EL NÚMERO CERO
Los primeros en utilizar un símbolo que representara el cero fueron los babilonios. Las tabletas de arcilla que se encontraron, que se remontan al año
4. EL NÚMERO 13
· Desde siempre el número
· Ya Hesiodo advertía a los labradores sobre empezar la siembra el día 13 del mes.
· En el año intercalado babilónico había un mes 13 intercalado en el signo del CUERVO DE
· 13 fueron los comensales de la última cena de Cristo.
· COVEN se llamaba al grupo de doce brujas a las que asistía el diablo como décimo tercero.
· En las creencias mayas existían 13 cielos y el calendario azteca estaba dividido en períodos de 13 días.
5. LA HUMANIDAD Y LA NATURALEZA EN NÚMEROS
1 sola pila puede contaminar 175 000 litros de agua.
1 vuelta al mundo puede dar la unión de venas, arterias y vasos del cuerpo humano.
2 000 000 000 de personas pueden morir con una bomba de plutonio del tamaño de un pomelo.
9 460 800 000 000 de kilómetros mide aproximadamente un año luz.
5 975 000 000 000 000 000 000 000 kilos pesa nuestro planeta.
6. CURIOSA MULTIPLICACIÓN DE ONCES
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12 321
1111 x 1111 = 1 234 321
111 111 111 X 111 111 111 = 12 345 678 987 654 321
1111 x 111 = 123321
11111 x 1111 = 12344321
7. FRASES SOBRE MATEMATICOS
· Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos. (Henry David Thoreau)
· Aquel que desdeña
· Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza. (Bertrand Russell)
· La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto. (Galileo Galilei)
· Sin matemáticas no se penetra hasta el fondo de la filosofía; sin filosofía no se llega al fondo de las matemáticas; sin las dos no se ve el fondo de nada. (Bordas-Desmoulin)
8. POTENCIAS DE 2 DÍGITOS ACABADOS EN 5
75² = 75 x 75 = 5 625
7 x 8 = 56
5 x 5 = 25
1º Siempre van a acabar en 25, estas serán siempre los dos últimos dígitos
2º El primer dígito se multiplicará por el inmediatamente superior, es decir, si es el 3 se multiplicará por el 4, si es el 7 por el 8, si es el 9 por el 10, etc. y el resultado serán las dos primeras cifras.
9. CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5
8 - 3 = 5
78 - 23 = 55
778 - 223 = 555
7 778 – 2 223 = 5 555
…
8² - 3² = 55
78² - 23² = 55 555
778² - 223² = 555 555
7778² - 2223² = 55 555 555
10. NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS
1² = 1
11² = 121
111² = 12 321
1 111² = 1 234 321
11 111² = 123 454 321
111 111² = 12 345 654 321
1 111 111² = 1 234 567 654 321
11 111 111² = 123 456 787 654 321
111 111 111² = 12 345 678 987 654 321
9² = 81
99² = 9 801
999² = 998 001
9 999² = 99 980 001
99 999² = 9 999 800 001
999 999² = 999 998 000 001
9 999 999² = 99 999 980 000 001
99 999 999² = 9 999 999 800 000 001
999 999 999² = 999 999 998 000 000 001
11. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8
(1 x 8) + 1 = 9
(12 x 8) + 2 = 98
(123 x 8) + 3 = 987
(1 234 x 8) + 4 = 9 876
(12 345 x 8) + 5 = 98 765
(123 456 x 8) + 6 = 987 654
(1 234 567 x 8) + 7 = 9 876 543
(12 345 678 x 8) + 8 = 98 765 432
(123 456 789 x 8) + 9 = 987 654 321
12. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9
(1 x 9) + 2 = 11
(12 x 9) + 3 = 111
(123 x 9) + 4 = 1 111
(1 234 x 9) + 5 = 11 111
(12 345 x 9) + 6 = 111 111
(123 456 x 9) + 7 = 1 111 111
(1 234 567 x 9) + 8 = 11 111 111
(12 345 678 x 9) + 9 = 111 111 111
(123 456 789 x 9) + 10 = 1 111 111 111
13. OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9
(0 x 9) + 8 = 8
(9 x 9) + 7 = 88
(98 x 9) + 6 = 888
(987 x 9) + 5 = 8 888
(9 876 x 9) + 4 = 88 888
(98 765 x 9) + 3 = 888 888
(987 654 x 9) + 2 = 8 888 888
(9 876 543 x 9) + 1 = 88 888 888
(98 765 432 x 99) + 0 = 888 888 888
(987 654 321) x 9 - 1 = 8 888 888 888
14. MULTIPLICACIÓN POR UN MÚLTIPLO DE 9
Ø 12 345 679 x (9 x 1) = 111 111 111
12 345 679 x (9 x 2) = 222 222 222
12 345 679 x (9 x 3) = 333 333 333
12 345 679 x (9 x 4) = 444 444 444
12 345 679 x (9 x 5) = 555 555 555
12 345 679 x (9 x 6) = 666 666 666
12 345 679 x (9 x 7) = 777 777 777
12 345 679 x (9 x 8) = 888 888 888
12 345 679 x (9 x 9) = 999 999 999
15. MULTIPLICACIÓN POR UN MÚLTIPLO DE 7
15 873 x (7 x 1) = 111 111
15 873 x (7 x 2)= 222 222
15 873 x (7 x 3) = 333 333
15 873 x (7 x 4) = 444 444
15 873 x (7 x 5) = 555 555
15 873 x (7 x 6) = 666 666
15 873 x (7 x 7) = 777 777
15 873 x (7 x 8) = 888 888
15 873 x (7 x 9) = 999 999
16. EL NÚMERO 987 654 321
Con el número 987 654 321 se obtienen productos con todas sus cifras, más el 0, permutadas:
987 654 321 x 2 = 1 975 308 642
987 654 321 x 3 = 2 962 962 963
987 654 321 x 4 = 3 960 617 284
987 654 321 x 5 = 4 938 271 605
987 654 321 x 6 = 5...................6
987 654 321 x 7 = 6...................7
987 654 321 x 8 = 7....................8
17. NÚMEROS AMIGOS
Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores del otro.
El menor par de números amigos es el formado por el 220 y 284:
Suma de los divisores de 220:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 44 + 55 + 110 = 284
Suma de los divisores de 284:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Otros números amigos son (6 232 y 6 368), (2 620 y 2 924), (18 416 y 17 296), (9 437 056 y 9 363 284)
CASOS ESPECIALES MATEMÁTICOS
18. TRES AMIGOS EN EL BAR
Van tres amigos a tomar unos refrescos luego de un partido de fulbito. Después de un rato, al pedir la cuenta, es donde viene el lío:
- Amigos: ¡Camarero, nos trae la cuenta, por favor!
- Camarero: Son 30 soles, caballeros.
Y cada uno de ellos pone 10 soles.
Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el dueño del bar y le dice:
- Dueño: No, esos son amigos míos. Cóbrales solo 25 soles.
El camarero se da cuenta que si devuelve los 5 soles puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente:
- Camarero: Ya está. Me quedaré con 2 soles y les devuelvo 3 soles, un sol para cada uno.
Le devuelve a cada uno, 1 sol.
Ahora es cuando viene el follón. Si cada uno puso 10 soles y le devuelven 1 sol, realmente puso cada uno de ellos 9 soles.
9 x 3 = 27 soles. Si añadimos los 2 soles que se quedó el camarero, 29 soles...
¿DÓNDE ESTÁ EL NUEVO SOL QUE FALTA? Este es un caso típico de cómo se pueden enredar las cosas. Lo correcto es decir que 25 soles fueron a caja y 2 soles es la propina del camarero.
19. EL MATEMÁTICO IGNORANTE
En las aulas de cierta facultad de Matemáticas, podemos encontrar a un extraño personaje. Cierto día, confesó que tan sólo sabía multiplicar y dividir entre 2.
- A pesar de todo, dijo, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras.
Le propusieron que multiplicara 75 por 38. Tomó una hoja de papel y escribió a la izquierda 75 y a la derecha 38. Luego inició sus cálculos:
- La mitad de 75 es 37, ¿no es así?
- No -le dijeron- es 37,5.
- De acuerdo, pero no sé trabajar con decimales, así que no los pongo.
Escribió 37 y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de las protestas, 18, 9, 4, 2 y finalmente 1. Después multiplicó 38 por dos. El resultado, 76, lo escribió en la fila inferior. Volvió a multiplicar por dos y obtuvo 152, 304, 608, 1216 y 2 432. Al final tenía escrito,
| 75 | 38 |
| 37 | 76 |
| 18 | 152 |
| 9 | 304 |
| 4 | 608 |
| 2 | 1 216 |
| 1 | 2 432 |
Luego dijo que los números pares de la columna de la izquierda no servían de nada, así que los tachó (junto con el número que tenían a su derecha) con lo que quedó:
| 75 | 38 |
| 37 | 76 |
| 9 | 304 |
| 1 | 2 432 |
Sumando los números de la columna de la derecha obtuvo: 38 + 76 + 304 + 2 432 = 2 850, que es el resultado correcto. Con otros números también funciona el método. ¿Sabrías dar una explicación matemática?
20. LA HERENCIA DEL CAMPESINO (Adaptado)
Un campesino tenía tres hijos y les dejó al morir 17 ovejas, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ninguna oveja, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del campesino, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al profesor, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el profesor con una oveja suyo y lo unió al grupo de las 17 ovejas, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del campesino sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 ovejas; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el profesor volvió a llevarse su oveja y dejó a los tres hermanos contentos. ¿Cómo se explica la solución dada por el cadí?
En primer lugar hagamos unas cuantas reflexiones sobre el problema:
Ø Si sumamos una mitad, una tercera parte y una novena parte, no se obtiene el total de los 17 ovejas (debería ser 17/17) Efectivamente: 1/2 + 1/3 + 1/9 = (9+6+2)/18 = 17/18.
Ø El número 17 (primo) no es múltiplo común de 2, 3 y 9.
Ø Se debe hacer el reparto sin matar ninguna oveja.
Evidentemente, el problema no tiene solución tal y como se presenta. Sin embargo, el profesor intentó dar una solución lo más aproximada posible y que dejase contentos a los hijos. Se dio cuenta de que añadiendo otra oveja se obtenía un número (18) múltiplo de 2, 3 y 9 que permitía hacer el reparto exacto y además le permitía recuperar la oveja añadido (la suma de las tres fracciones era 17/18, de 18 ovejas se repartían 17).
21. JUGANDO CON DOSES
¿Puede usted escribir los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos +, -, x, /, además del paréntesis? Puede empezar así 0 = 2 - 2/2 - 2/2
| 1 = 2+2-2-2/2 | 6 = 2+2+2+2-2 |
| 2 = 2+2+2-2-2 | 7 = (22/2)-2-2 |
| 3 = 2+2-2+2/2 | 8 = 2x2x2+2-2 |
| 4 = 2x2x2-2-2 | 9 = 2x2x2+2/2 |
| 5 = 2+2+2-2/2 | 10 = 2+2+2+2+2 |
22. ADIVINANDO LA EDAD
Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero = 1, febrero = 2, ...) y después le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debe multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 o 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento.
23. SUMA INALTERABLE
El truco es el siguiente: Pida a alguien que escriba un número de cuatro cifras. En un papel aparte réstele
Ejemplo: Si escriben 2 435, usted escribirá 22 433.
Escriba el número aparte, sin que nadie lo vea. Después pida a alguien que escriba otro número de 4 cifras debajo. Una vez hecho esto, les dice que el siguiente lo va a escribir usted. Tiene que completar con nueves (es decir, hacer que la suma de vuestra cifra y la anterior de todo nueves).
Ejemplo: Si el primer número que han puesto es el 2 435 y el segundo el 2 354.
2 435
2 354
7 645
Hemos puesto el 7 645 porque 7 + 2 = 9, 6 + 3 = 9, 5 + 4 = 9 y 4 + 5 = 9. Tiene que ponerlo simulando que lo pone al azar.
Una vez hecho esto, repetimos la operación otra vez, decimos que pongan otro número de cuatro cifras debajo, y nosotros volvemos a poner otro completando a nueves con el anterior
2 435
2 354
7 645
4 278
5 721
Ahora viene lo bueno: decimos a alguien que sume toda la columna. El resultado será el número que previamente habíamos copiado en un papel. Consejo: verificar antes porque casi todos se equivocan al hacer la suma.
Explicación: No tiene nada de misterioso. Fijémonos en los pares 2-3 y 4-5 de la columna. Ambos suman 9 999, por lo que los 4 suman 19 998. Es decir, 20 000 menos 2. Sumado a la primera cifra es lo mismo que al restarle 2 y ponerle un 2 delante, que es 22 433.
24. EL CASTIGO DE GAUSS
Pues la historia es la siguiente: estaba Carl Friedrich Gauss allá por el año 1 787 en la escuela. Tenía unos 10 años de edad. Con esa edad pasó lo que tenía que pasar, todos los niños empezaron a tirarse papeles, tizas, etc.
En ese momento apareció el profesor y como estaba enojado, ordenó a todos los niños que, como castigo, sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor debió pensar: ¡qué idea más buena he tenido! ¡Durante un buen rato, me dejarán todos estos mocosos en paz!
A los pocos minutos, nuestro pequeño genio se levantó del pupitre, y entregó la respuesta correcta: 5 050. El profesor, asombrado, debió pensar que había puesto un número al azar, y se dispuso él mismo a hacer la interminable suma. Al cabo de un buen rato, comprobó que, efectivamente, la suma pedida era 5 050.
No es que Gauss fuera un calculador extraordinario, capaz de hacer sumas a la velocidad de un ordenador moderno. Gauss llegaría a ser uno de los mejores matemáticos de la historia, y los matemáticos no calculan: piensan...
Lo que hizo Gauss fue lo siguiente:
Tenía que sumar los siguientes números:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+.............+95+96+97+98+99+100
Pero nadie le obligaba a sumarlos por orden. Gauss se percató de un hecho singular: si agrupaba los números por parejas, tomando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, etc., tenía lo siguiente:
(1+100) = 101; (2+99) = 101; (3+98) = 101; (4+97) = 101; etc.
Es decir, todos los pares de números sumaban 101. Como entre el uno y el 100 podía hacer 50 pares con esa propiedad, hizo la siguiente operación 50 X 101 = 5 050.
Más tarde, aplicaría este mismo principio para hallar la suma de la serie geométrica y muchas otras series.
25. ADIVINANDO NÚMEROS
Esta estrategia es bastante sencilla, pero no es una estrategia que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tenga usted una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: deberás mostrar las siguientes columnas.
| 1 | 9 | | 2 | 10 | | 4 | 12 | | 8 | 12 |
| 3 | 11 | | 3 | 11 | | 5 | 13 | | 9 | 13 |
| 5 | 13 | | 6 | 14 | | 6 | 14 | | 10 | 14 |
| 7 | 15 | | 7 | 15 | | 7 | 15 | | 11 | 15 |
Pedir a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pedir que le señale en cuáles de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tendrás que sumar los números marcados en rojo de las columnas que le señalen.
Ejemplo: Si han pensado en el número 7, le señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, tendrás 1 + 2 + 4 = 7.
Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando le señalan las columnas, le están indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).
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